我们所处的宇宙究竟有多少维度？维度又到底意味着什么？

相对论说我们生活在四维空间中。弦理论认为是十维空间。究竟什么是“维度”?它们又是如何影响现实?

我在书桌前写作，伸手去打开一盏灯，然后打开一个抽屉拿出一支钢笔。我向前伸出胳膊，用手指抚摸着妹妹送给我的一个小而奇怪的小雕像，这是我的幸运符，当我向后伸出胳膊的时候，我可以拍拍那只依偎在我背上的黑猫。右边是我文章的研究笔记，左边是我的“必做”项目(账单和信件)。上、下、前、后、右、左：我把自己置身于一个三维空间的个人宇宙中，这个世界的轴线被我办公室的直线结构无形地压在了我身上，像大多数西方建筑一样，这些直角结构由三个相连的直角所定义。

我们的建筑、教育和字典告诉我们空间是三维的。《牛津英语词典》将其定义为“一个连续或者宽阔的区域，它是自由的、可用的或闲置的……维度具有高度、深度和宽度，所有的东西都在这些维度中存在和移动。”在18世纪，伊曼努尔•康德(Immanuel Kant)提出，三维欧几里德空间具有一种先天的必要性，正如现在计算机生成图像和电子游戏渗透着我们的生活一样，我们也不断地被看似公理化的笛卡尔网格的表现所影响。从21世纪的角度来看，这几乎是不言自明的。

然而，我们居住在一个拥有数学结构的空间里这个概念是西方文化的一个非常激进的创新，这需要推翻人们长期以来关于现实本质的信念。尽管现代科学的诞生常被认为是向机械论自然描述的转变，但可以说，更重要的、也更持久的，是它在我们把空间看作几何结构的概念上所带来的转变。

在过去的一个世纪里，描述空间几何结构的探索已经成为理论物理学的一个主要项目，从阿尔伯特·爱因斯坦开始，专家们试图解释所有自然的基本力量都是空间形状本身的副产品。在局部层面上，我们被教育认为空间是三维的，而广义相对论描绘了一个四维的宇宙，弦理论则说空间有十个维度，如果你用一个被称为M理论的弦理论扩展版本的话，那空间就有十一个维度。在二十六维空间理论中有一些变体，而最近纯理论数学家们则被一个描述二十四维空间的理论版本所震撼。但是这些“维度”是什么呢?谈论十维空间又是什么意思呢?

为了让对空间的思考进入现代数学模式，人们首先必须把空间想象成可以被某种物质所占据的竞技场。至少，“空间”应该被看作是一种延伸的东西。尽管现在我们看来这似乎是显而易见的，但这种想法对亚里士多德来说几乎是一种诅咒，他关于物理世界的概念在古代晚期和中世纪主导着西方的思想。

严格地说，亚里士多德物理学不包括空间理论，只包括地点的概念。想象一个杯子立在桌子上。对亚里士多德来说，杯子是由空气包围的，空气本身就是物质。在他的世界中，没有空的空间，只有一种物质(杯子)和另一种物质(空气，或者桌子)之间的界限。对亚里斯多德来说，“空间”(如果你想这么称呼它的话)只不过是杯子和它周围事物之间极其微小的边界而已，没有扩展的概念，空间就不是其他任何东西都可以存在的地方了。

早在亚里士多德(Aristotle)几个世纪之前，Leucippus和德谟克利特(Democritus)就已经提出了一种现实理论，这种理论援引了一种内在的空间化的视角——一种“原子论”的视角，即物质世界是由微小的粒子(或原子)在空虚中运动构成的。但亚里士多德反对原子论，声称空虚的概念在逻辑上是不连贯的。他说，根据定义，“什么都没有”是不可能存在的。要克服亚里斯多德对空虚的反对，进而克服对扩展空间概念的反对，是一个将需要几个世纪才能完成的宏大工程。直到伽利略和笛卡儿在17世纪早期将扩展空间作为现代物理学的基石之一，这种创新的观点才得以形成。正如美国哲学家埃德温•伯特(Edwin Burtt)在1924年所言，对于这两位思想家来说，“物理空间被认为与几何领域完全相同”——也就是说，我们现在在学校里教授的三维欧几里德几何。

在物理学家接受欧几里德的观点之前，画家们就已经开创了空间的几何概念，我们在概念框架上的巨大飞跃得要归功于他们。在中世纪后期，在亚里士多德的主要竞争对手，柏拉图和毕达哥拉斯他们逐渐扩大的影响下，一种观点开始在欧洲传播开来：认为上帝根据欧几里德几何学的法则创造了世界。因此，如果艺术家想要真实地描绘这个世界，他们应该在他们的表征策略中模仿创作者。从14世纪到16世纪，诸如乔托(Giotto)、保罗•乌切罗(Paolo Uccello)和皮耶罗•德拉•弗朗西斯卡(Piero della Francesca)等艺术家发展出了后来被称为透视画法的技巧——一种最初被称为“几何形状”的风格。通过有意识地探索几何原理，这些画家逐渐学会了如何构建在三维空间中的物体的图像。在此过程中，他们对欧洲人的思维造成了很大的改变，使他们以欧几里得几何方式看待空间。

历史学家塞缪尔·埃德顿(Samuel Edgerton)在他的著作《The Heritage of Giotto's Geometry》)中讲述了这个向现代科学的非凡过渡，并且指出推翻亚里士多德对空间的思考在一定程度上时间有多长和多缓慢，这个推翻是人们站在透视绘画面前感到发自内心的感觉的副产品，仿佛他们正在窥探在墙另一边的三维世界。这里的非凡之处在于，当哲学家和早期科学家小心翼翼地挑战亚里士多德关于空间的格言时，艺术家们通过诉诸感官，在这一知识领域开辟了一条激进的道路。不夸张地说，透视表征是虚拟现实的一种形式，就像今天的VR游戏一样，它的目的是给观众一种错觉，让他们觉得自己被带入了一个在几何上连续的、心理上令人信服的其他世界。

虚幻欧几里得空间的透视表征逐渐烙印在欧洲人的意识中，同时也被笛卡尔和伽利略接纳为现实世界的空间。值得补充的是，伽利略本人也接受过透视训练。在他开创性的月球绘图中，他表现深度的能力是一个关键特征，这幅画描绘了山脉和山谷，暗示了月球和地球一样是坚固的物质。

通过透视成像的空间，伽利略可以展示像炮弹这样的物体是如何根据数学规律运动的。空间本身是一种抽象——一种无特征的、无生气的、不可触摸的、不可感知的虚无，它唯一的可知属性是它的欧几里德形式。17世纪末，艾萨克·牛顿(Isaac Newton)扩展了伽利略式的视野，将整个宇宙都囊括其中，如今，宇宙变成了一个潜在无限三维真空——一个巨大的、没有质量的、向四面八方不停延伸的真空。“真实”的结构就这样从一个哲学和神学的问题变成了一个几何命题。

而在“科学革命”的初期，画家们利用数学工具开发出了新的绘图方法，笛卡尔则发现了一种方法，可以将数学关系的图像呈现在它们自己身上。在这个过程中，他将维度的概念正式化，并将其注入我们的意识里，这不仅是一种看待世界的新方式，也是一种进行科学研究的新工具。

今天，几乎每个人都能从笛卡尔平面的图像中看到笛卡尔天才的成果——一个用x轴和y轴标出的矩形网格，以及一个坐标系。

根据定义，笛卡尔平面是一个二维空间，因为我们需要两个坐标来确定其中的任何点。笛卡尔发现，有了这个框架，他可以把几何形状和方程联系起来。因此，半径为1的圆可以用方程x2 + y2 =1来描述。

我们在这个平面上可以绘制的大量图形都可以用方程来描述，这种“解析”或“笛卡尔”几何很快就成为了牛顿和莱布尼茨, G·W开发的微积分的基础，微积分使物理学家能进一步分析运动。理解微积分的一种方法是研究曲线;例如，它使我们能够正式定义曲线最陡的地方，或者到达局部最大值或最小值的地方。而当应用到运动的研究中时，微积分给了我们一种分析和预测的方法，例如，一个物体被抛到空中时会达到一个最大高度的地方是哪里，或者一个球沿着一个弯曲的斜坡滚下时会在什么时候达到一个特定的速度。自从微积分发明以来，它已经成为了几乎所有科学分支的重要工具。

考虑到前面的图表，我们很容易看出如何添加第三个轴。因此，通过x、y和z轴，我们可以描述球体的表面——就像一个海滩球的表面一样。这里的方程(对于半径为1的球体)是：x2 + y2 + z2 = 1

用三条轴，我们可以描述三维空间中的形式。同样，每一个点都是由三个坐标唯一确定的：正是“三”这个必要条件使空间成为三维的。

但为什么要止步于此呢?如果我加上第四个维度呢?我们姑且叫它p。现在我可以写出一个方程来表示四维空间中的球面x2 + y2 + z2 + p2 = 1。我不能给你们画出这个物体，但是从数学上来说，再加上另一个维度是合理的。“合理”的意思是这么做在逻辑上并没有什么不一致——我没有理由不能这么做。

我可以继续这样下去，增加更多的维度。我在五维空间中用五条坐标轴(x， y， z， p， q)定义了一个球面，给出了方程x2 + y2 + z2+ p2 + q2 = 1。六维中的球面则是：x2 + y2 + z2 + p2 + q2 + r2 = 1，依此类推。

虽然我可能无法想象高维的球体，但我可以象征性地描述它们，理解数学历史的一种方式是对我们可以超越的看似合理的事物的逐渐领悟。这就是查尔斯·道奇森(又名刘易斯·卡罗尔)在《爱丽丝镜中奇遇记》(1871年)中所表达的意思，他让白皇后声称她有能力在早餐前相信“六件不可能的事情”。

从数学上讲，我可以用任意数量的维度来描述一个球体，我所需要做的就是不断增加新的坐标轴，数学家们称之为“自由度”。按照惯例，它们会被命名为x1 x2 x3 x4 x5 x6等等。正如笛卡尔平面上的任何点都可以用两个(x， y)坐标来描述一样，十七维空间中的任何点都可以用17个坐标(x1， x2， x3， x4， x5， x6…x15， x16， x17)来描述。像上面的球体这样的表面，在这样的多维空间中，通常被称为流形。

从数学的角度来看，“维度”不过是另一个坐标轴(另一个自由度)罢了，它最终只会成为一个纯粹的符号概念，与物质世界毫无关系。19世纪60年代，开创性的逻辑学家奥古斯都·德·摩根(Augustus De Morgan)对刘易斯·卡罗尔(Lewis Carroll)的著作产生了影响，他总结了这个领域日益抽象的观点，指出数学纯粹是“符号的科学”，因此，数学本身除它本身之外，什么都不需要。从某种意义上说，数学是在想象的领域中被放任自由的逻辑。

不像数学家，他们在思想领域自由发挥，物理学至少在原则上是与自然，与物质事物相结合的。然而，所有这一切都提出了一种解放性的可能性，因为如果数学允许超过三维，而我们认为数学对描述世界很有用，那我们怎么知道物理空间只有有限的三个?虽然伽利略、牛顿和康德把长度、宽度和高度作为公理，但我们的世界难道就没有更多的维度了吗?

同样，三维以上的宇宙是通过艺术媒介进入公众意识的，这次的形式是文学推测，其中最著名的是数学家埃德温·A·阿伯特(Edwin a Abbott)的《平地》(Flatland)(1884)。这部引人入胜的社会讽刺作品讲述了这样的一个故事：在平面上住着一个简陋的正方形，有一天，一个三维物体——球体勋爵(Lord Sphere)造访了这个正方形，并怂恿它到立体的世界去看看，在三维空间这个体积天堂里，方块看到了他自己的三维版本——一个立方体，并开始梦想着进入到第四、第五和第六维度。它想，为什么不去看看超立方体呢?一个超超立方体呢?

可悲的是，回到平地的时候，正方形被认为是一个疯子，并被锁在了疯人院。不同于它所激发的一些更甜蜜的动画和改编，这个故事的优点之一，是它承认了炫耀社会习俗所带来的危险。正当正方形在为空间的其他维度争论时，他也在为存在于其他维度的东西辩护——他是个数学怪人。

在19世纪末和20世纪初，许多作者(赫伯特·乔治·威尔斯，数学家和科幻作家查尔斯•辛顿，他为四维立方体创造了“超正方体”这个词)，艺术家(萨尔瓦多·达利)和神秘的思想家(P D Ouspensky)，都探讨了四维空间，以及如果人类遇到四维空间意味着什么。

然后在1905年，一位当时还尚不知名的物理学家阿尔伯特·爱因斯坦发表了一篇论文，将现实世界描述为一个四维空间。在他的“狭义相对论”中，时间被添加到空间的三个经典维度中。在相对论的数学形式主义中，所有四个维度都联系在一起，时空一词也就进入了我们的词典。这种集合绝不是随意的，爱因斯坦发现，沿着这条路走下去，一种强大的数学仪器诞生了，它超越了牛顿的物理学，使他能够预测带电粒子的行为。只有在一个四维模型的世界，电磁学才能被充分和准确地描述。

相对论远远不止是另一种文学游戏，尤其是当爱因斯坦把它从“狭义”理论扩展到“广义”理论时，现在的多维空间充满了深刻的物理意义。

在牛顿的设想中，物质在自然力量(尤其是重力)的影响下穿越时空。空间、时间、物质和力量是现实的不同范畴。通过狭义相对论，爱因斯坦证明了空间和时间是统一的，从而将基本的物理范畴从四种减少到三种：时空、物质和力。广义相对论则更进一步，将重力引入时空结构本身中，从四维角度来看，重力只是空间形状的产物。

为了理解这种不同寻常的情况，让我们先暂时想象一下它的二维类比。想象一张蹦床，想象一下我们在它的表面画一个笛卡尔网格，现在把一个保龄球放在网格上，在它周围，表面会拉伸和扭曲，所以一些点彼此之间会变得更远。我们扰乱了空间内固有的距离度量，使其变得不均匀。广义相对论说，这种扭曲是一个重的物体(比如太阳)对时空造成的影响，而空间本身偏离笛卡尔完美状态的变化则产生了我们所经历的重力现象。

然而在牛顿的物理学中，重力无从解释，但在爱因斯坦的物理学中，它自然地来自于四维流形的固有几何;在那些流形伸展最多或偏离笛卡尔规则最多的地方，重力感觉更强。这有时被称为“橡胶板物理学”。在这里，巨大的宇宙力使行星围绕着恒星运行，而恒星围绕星系运行，这都只不过是扭曲空间的副作用，重力实际上是几何运动。

如果进入四维空间有助于解释重力，那么在五维空间思考是否会有其他科学优势呢?为什么不试试呢?1919年，一位名叫西奥多·卡鲁扎(Theodor Kaluza)的波兰年轻数学家认为，如果爱因斯坦将重力归纳到时空中，那么或许我们可以用另一个维度来解释电磁力，将其作为时空几何的产物。因此，卡鲁扎在爱因斯坦的方程中加入了另一个维度，令他高兴的是，他发现在五维度中，这两种力都很好地被证明了是几何模型的产物。

数学就像魔术一样，但问题是额外的维度似乎与任何特定的物理定量都无关。在广义相对论中，第四维是时间;但在卡鲁扎的理论中，第五维度并不是你能指出、看到或感觉到的任何东西：它只是存在于数学中。就连爱因斯坦也对这种空灵的创新犹豫不决。第五维度是什么?他问道，它究竟在哪里?

1926年，瑞典物理学家奥斯卡·克莱因(Oskar Klein)回答了这个问题，他回答的方式读起来就像从仙境中走出来一样。想象一下，他说，你是一只生活在一根长而细的软管上的蚂蚁。你可以沿着软管向前和向后跑，而永远不会意识到脚下软管的微小圆圈。只有你的蚂蚁物理学家用他们强大的蚂蚁显微镜才能看到这个微小的维度。据Klein说，我们四维时空中的每个点都有一个像这样的额外的空间圈，它太小了，小到我们都看不见。由于它比原子小很多数量级，难怪我们到目前为止还没有发现它。只有拥有超强粒子加速器的物理学家才有希望看到如此微小的规模。

物理学家们从最初的震惊中恢复过来后就被克莱因的想法迷住了。在20世纪40年代，这个理论在数学上得到了详尽的阐述，并进入了量子领域。不幸的是，新维度的无限小尺度使我们无法想象如何通过实验验证它。Klein计算出这个小圆圈的直径只有10-30厘米。相比之下，氢原子的直径是10-8厘米，所以我们在讨论的是比最小的原子还要小20个数量级的东西。即使在今天，我们也无法看到如此微小的规模，所以这个想法就逐渐被主流遗忘了。

然而，卡鲁扎并不是一个容易被吓倒的人，他相信他五维空间的想法，他相信数学理论的力量，所以他决定进行他自己的实验。他选定了游泳的主题，卡鲁扎不会游泳，所以他把所有关于游泳的理论都读了一遍。当他觉得他在原则上已经了解了水上运动的时候，他就带他的家人去海边，把自己扔进海浪里，没想到他真的可以游泳。在卡鲁扎看来，游泳实验证明了理论的正确性，尽管他没能活着看到他心爱的五维空间取得胜利，但在20世纪60年代，弦理论学家重新提出了高维空间的概念。

到20世纪60年代，物理学家们发现了另外两种自然力量，它们都在亚原子尺度上运行。它们被称为弱核力和强核力，它们负责某些类型的放射性，并将夸克聚集在一起，形成组成原子核的质子和中子。在1960年代末，弦理论的物理学家开始探索新的主题(假定粒子就像微小的橡皮筋在空间振动)，卡鲁扎和克莱恩的想法重新得到注意，理论家们也逐渐开始怀疑这两个亚原子力量也可以用时空几何描述。

结果是为了包含这两种力，我们需要在数学描述中加入另外五个维度。没有一个先验的理由应该是五;再一次，这些额外的维度都与我们的感官体验无关，它们只是存在于数学中。这就得到了弦理论的十维，这里有四个大尺度的时空维度(由广义相对论描述)，外加六个额外的“紧凑”维度(一个是电磁维度，另外五个是核力维度)，它们都蜷缩在某种极其复杂、扭曲的几何结构中。

物理学家和数学家们正花费大量的精力去理解这个微型空间可能会呈现的所有形状，如果有的话，有哪些可能的形状在现实世界中得到了体现。从技术上讲，这些形式被称为Calabi-Yau流形，它们可以在任何偶数的更高维度存在。作为一种奇异的、精致的存在，这些非凡的形式构成了多维空间的抽象分类;Calabi-Yau流形的一个二维切片(大约是我们在视觉化它们方面能做的最好的了)让人想到病毒的晶体结构;它们看起来活灵活现。

通过Calabi-Yau流形的2D切片。来自维基百科

弦理论方程有很多描述十维空间的版本，但在上世纪90年代，普林斯顿高等研究院(爱因斯坦故居)的数学家爱德华·威滕(Edward Witten)指出，如果从十一维空间的角度来看，事情可以以某种方式被简化。他称自己的新理论为M理论，并神秘地拒绝说出“M”代表什么。据称通常它被认为代表“膜”，但“矩阵”，“大师”，“神秘”和“怪物”等猜测也被纷纷提出。

到目前为止，我们还没有任何关于这些额外维度的证据——我们仍然处于一个游泳物理学家梦想着一个我们还无法到达的微型景观的世界中——但是弦理论却被证明对数学本身有强大的影响。最近，有一个理论版本发展出二十四个维度，显示出了数学的几个主要分支之间意想不到的相互联系，这意味着，即使弦理论在物理学中没有取得成功，它也将被证明是纯粹理论洞察力的一个非常有用的来源。在数学中，二十四维空间是相当特殊的——那里有神奇的事情发生，比如把球体以一种特别优雅的方式组合在一起的能力——尽管现实世界不太可能有二十四维空间。对于我们所热爱和生活的世界，大多数弦理论学家认为十到十一个维度就足够了。

弦理论有一个决定性的发展非常值得注意。1999年，丽莎·兰德尔(Lisa Randall)(她是第一位在哈佛大学获得终身教职的女性理论物理学家)和拉曼·桑德拉姆(Raman Sundrum)(印度裔美国粒子理论家)提出，在宇宙尺度上可能存在一个额外维度，即广义相对论所描述的维度。根据他们的“膜”理论——“膜”是“薄膜”的简称——我们通常所称的宇宙可能嵌入在一个更大的五维空间中，类似于一种超级宇宙。在这个超级空间里，我们的宇宙可能只是一系列共存的宇宙中的一个，每一个宇宙都是在一个更广阔的5D空间里的一个独立的4D气泡。

我们很难知道我们是否能够证实兰德尔和桑德姆的理论。然而，在这一观点和现代天文学的开端之间我们已经有了类比。500年前的欧洲人发现，在我们自己的世界之外我们不可能想象出有其他的物理“世界”，但现在我们知道，宇宙中居住着数十亿颗围绕数十亿颗恒星运转的其他行星。谁知道呢，有一天我们的后代可以找到数十亿其他宇宙存在的证据，每个宇宙都有自己独特的时空方程。

理解空间的几何结构是科学的标志性成就之一，但物理学家们可能已经走到了这条路的尽头。因为，在某种意义上，亚里士多德是对的，扩展空间的概念确实存在逻辑问题。尽管相对论取得了非凡的成就，但我们知道，它对空间的描述不可能是最后一个，因为在量子层面，它会崩溃。在过去的半个世纪里，物理学家们一直试图将他们在宇宙尺度上对空间的理解与他们在量子尺度上观察到的东西结合起来，但一直没有取得成功，而且似乎越来越多地现象表明，这种结合可能需要全新的物理学支持。

正如普林斯顿高级研究所的研究主任Robbert Dijkgraaf最近所说，在爱因斯坦发展了广义相对论后，他把他剩下的大部分时间用于尝试“从时空的动态中构建所有的自然规律，将物理减少到纯几何。”“对爱因斯坦来说，在无限的科学对象层次中，时空就是自然的‘底层’。”就像牛顿的设想一样，爱因斯坦的设想使空间成为存在的基本基础，成为万物发生的舞台。然而，在量子性质占主导地位的非常微小的尺度上，物理学定律揭示我们所习惯的空间可能并不存在。

一些理论物理学家提出了一种观点，认为空间实际上可能是某种更基本的东西所产生的一种突发现象，就像温度作为一种分子运动产生的宏观性质一样。正如Dijkgraaf所说：“目前的观点认为时空不是一个起点，而是一个终点，是一个从量子信息的复杂性中浮现出来的自然结构。”

加州理工学院(Caltech)的宇宙学家肖恩•卡罗尔(Sean Carroll)是新空间思维方式的主要倡导者，他最近表示，经典的空间不是“现实建筑的基本组成部分”，并辩称，我们错误地将这种特殊地位赋予给了四维、十维或十一维空间。Dijkgraaf用温度做了一个类比，Carroll让我们考虑“潮湿”，一种大量水分子聚集在一起的现象。没有一个水分子是湿的，只有当你把一堆水分子放在一起时，潮湿才形成了一种特性。因此，他说，空间是由量子层面上更基本的事物所产生的。

卡罗尔写道，从量子的角度来看，宇宙的演化在数学领域有超过10(10 ^ 100)维度”——这是10后跟着一个天文数字的零，或1万万亿万亿万亿万亿万亿万亿万亿万亿万亿万亿万亿万亿万亿个0。你很难想象这个几乎不可思议的巨大数字，它使已知宇宙中粒子的数量变得微不足道。然而，它们中的每一个都是量子方程在数学空间中描述的一个独立维度;每个维度都有一个新的“自由度”，宇宙可以自由支配。

即使是笛卡尔，也可能会被我们受他影响所取得的成果、以及在“维度”这个简单的词中所包含的令人眼花缭乱的复杂性所震惊。