量子方程能不能解释宇宙最大的系统？

这幅概念图展示了在年轻原恒星周围旋转的碎屑盘，碎屑盘含有气体和尘埃。图片来源：美国宇航局和喷气推进实验室

如果研究人员想要预测由量子力学统治的系统的行为，比如原子中的一个电子，或者在太空中穿梭的光里面的一个光子，他们通常会求助于薛定谔方程。这个方程由奥地利物理学家欧文·薛定谔于1925年发明，描述了亚原子粒子以及它们如何显示像波一样的特性，比如干涉现象。它包含了量子世界中所有看似奇怪且违反直觉的事物的本质。

但薛定谔方程似乎并不局限于这个领域。加州理工学院的行星科学家康斯坦丁·巴蒂金(Konstantin Batygin)今年1月在《皇家天文学会月刊》(Monthly notice of the Royal Astronomical Society)上发表了一篇论文，称这个等式也可以用来理解自引力天体物理圆盘的产生及其行为。也就是那种类似于土星和天王星等行星的光环，或围绕年轻恒星、为行星系统形成提供原材料的尘埃和气体光环，甚至是螺旋进入黑洞的碎片吸积盘。

然而，这些东西根本没有什么“量子”可言。它们可以是任何东西，从微小的尘埃颗粒到小行星或行星大小的大块岩石。然而，Batygin说，薛定谔方程提供了一种方便的方法来计算这样一个圆盘的形状，以及它对屈曲或扭曲的稳定性。苏格兰圣安德鲁斯大学的天体物理学家邓肯·福根(Duncan Forgan)没有参与这项研究，但他说“近一个世纪以来，薛定谔方程得到了深入的研究，这种联系显然很方便。”

从经典到量子

这个方程经常被认为是“量子”的精华，以至于人们很容易忘记它真正代表的是什么。在某种程度上，薛定谔是在为法国物理学家路易斯·德布罗意的理论，即：量子粒子可以像波一样运动的这个假设提出一个数学公式时，才像变魔法一样地提出了这个方程。薛定谔运用了他对经典力学的深厚知识，他的方程在很多方面都类似于普通波的方程，一个不同之处在于，在量子力学中，“粒子波”的能量是量子化的：被限制在被称为普朗克常数h的倍数离散值中，普朗克常数h是1900年德国物理学家马克斯·普朗克首次提出的。

薛定谔方程与经典波之间的联系已经被一个叫做常用非线性薛定谔方程的变体透露了，它被用来描述其他经典波系统，例如光学，甚至是海浪，它异常庞大和健壮的“超级波”提供了一个数学模型。

但是普通的“量子”版本——线性薛定谔方程——以前在经典力学领域中从未出现过。Batygin说之所以线性薛定谔方程会在这里出现是因为他建立自引力圆盘问题的方法创造了一个量，这个量在问题中设置了一个特定的“尺度”，就像h在量子系统中做的那样。

多圈的物理

无论是在年轻的恒星周围还是在超大质量的黑洞周围，在一个自引力的碎片盘中，许多相互作用的物体都很难用数学方法描述。但是Batygin使用了一个简化的模型，在这个模型中，磁盘的成分被涂抹并拉伸成细的“导线”，这些导线以同心椭圆的形式环绕在磁盘周围。因为导线通过重力相互作用，它们之间可以交换轨道角动量，就像自行车的齿轮轴承和车轴之间的运动转移一样。

这种方法采用了数学家Pierre-Simon Laplace和Joseph-Louis Lagrange在18世纪提出的思想。Laplace是最早研究旋转物体群如何坍缩成圆盘状的人之一。1796年，他提出我们的太阳系是由围绕着年轻的太阳旋转的大量气体和尘埃所组成的。Batygin和其他人以前使用过这种“线”近似，但是他决定看看极端的情况是如何，在这种情况下，环形线变得越来越薄，直到它们合并成一个连续的圆盘。在这个极限下，他发现描述这个系统的方程和薛定谔的方程是一样的，波函数定义了量子粒子可能位置的分布，而圆盘本身则用波函数的类比来描述。实际上，圆盘的形状就像一个量子粒子的波函数，在圆盘内外边缘有壁的空腔中弹跳着。

由此产生的圆盘具有一系列的振动“模态”，类似于音叉中的共振，这些振动可能会被微小的干扰所激发——想象一个正在形成行星的行星盘，被经过的恒星，或者是一个物质正在不均匀地落入中心的黑洞吸积盘推动了一下。Batygin推导了一个条件，在这个条件下，一个圆盘会弯曲，或者反过来，它会像一个刚体一样通过它自身的相互引力保持固定。他说，这取决于时间尺度。如果在圆盘中运行物体的角动量比扰动的持续时间快得多，圆盘就会保持刚性。他说：“另一方面，如果与扰动时间比起来，自我互动的时间要更长一些的话，圆盘也会弯曲。”

“量子”真的这么奇怪吗?

当他第一次看到薛定谔方程在他的理论分析中实现时，Batygin说他震惊了。“但现在回想起来，对于我来说它必须出现在这个问题中，这个非常明显”他补充说。

这意味着，薛定谔方程本身可以从18世纪以来的经典物理学中推导出来。它完全不依赖于“量子”——尽管事实证明它适用于量子领域。

这也许并不像看起来那么奇怪。一方面，为一种现象设计的方程式结果证明它们也适用于另一种完全不同的现象这种情况在科学中比比皆是。例如，用于描述一种化学反应的方程式已被应用于犯罪的建模，最近一种用于描述磁铁的数学方法被用来描述开心果果园的果树结果模式。但是量子物理本身不就是一种非常奇怪的行为吗?还真不是。薛定谔方程并没有描述量子粒子实际上“在做什么”，相反，它只是提供了一种预测观察受特定波状概率定律控制的系统可能会得到什么的方法。事实上，其他研究人员已经证明了量子理论的关键现象来自概率论的推广，概率论在18世纪的时候也已经被设计出来了，那时还没有任何迹象表明微小粒子的行为是这样的。

Batygin指出，他的这个方法的优点是简单。不需要使用复杂的计算机模型(所谓的n体模拟)来跟踪圆盘中每个粒子的所有运动，圆盘可以被看作是一种平滑的薄片，随着时间的推移会像鼓皮一样摆动。Batygin说，这使得它对于中心物体比圆盘质量大得多的系统来说非常理想，例如原行星盘和围绕超大质量黑洞运行的恒星环。然而，对于星系盘来说，它就行不通了，就是那种形成银河系的螺旋。

苏格兰皇家天文台的肯·赖斯(Ken Rice)并没有参与这项工作，但他说，在中心天体比圆盘大得多的情况下，具有引力优势的是中心天体。他说：“现在还不完全清楚，包括圆盘自身重力会如何影响进化。我的粗略猜测是它不会有多大影响，但我可能会是错。”这表明，Batygin的形式体系的主要应用可能不是为广泛的系统建模，而是为计算成本远远低于n体模拟的小范围系统建模。

新泽西州普林斯顿高等研究院的天体物理学家Scott Tremaine同样也没有参与研究，他同意这些方程可能比那些更精确地描述自引力环的方程更容易解。但他表示，这种简化是以忽略引力的长距离影响为代价的，因为在薛定谔版本中，只考虑了相邻“线环”之间的相互作用。他说，“这是一个相当极端的简化系统，只适用于特定的情况，而且不会为专家提供关于这些圆盘的新见解。”但他认为，这种方法可能具有有用的教学价值，尤其是在证明薛定谔方程“并非只是量子力学的神奇结果，它还可以描述各种物理系统”这个方面。

但是圣安德鲁斯大学的Forgan认为Batygin的方法对于模拟被伴星扭曲的黑洞吸积盘特别有用。他说：“我们有很多关于带有‘撕裂’圆盘的双超大质量黑洞的有趣结果，这可能会在这些结果中派上用场。”